2021年09月23日
「悪魔の証明」で２つの誤解をしていませんか？（存在しないことは証明できない？）
ある元総理が、
「ある事実がないことを証明するのは『悪魔の証明』であり不可能」
という趣旨のことを述べたことで有名になりました。
ただ「悪魔の証明」が誤解されて使われているのを見かけます。
「存在しないことの証明は昔からできないと決まっている！」
などとしたり顔で言う人を見かけることがあります。
本記事ではこの誤解を解消したいと思います。
うっかり「悪魔の証明」を口にして恥ずかしい思いをしないように！
数学の知見も得られます！（難しい内容ではありません）
＜目次＞
「悪魔の証明」で２つの誤解をしていませんか？
（１）「悪魔の証明」は無限に調べないといけないときだけ！
（２）「悪魔の証明」には証明できるものもある！
（ ↑ 画像をクリックすると詳細ページに飛べます！）
（１）「悪魔の証明」は無限に調べないといけないときだけ！
そもそも、悪魔の証明が「証明できない」とされるのは、
✔無限のものをすべて調べていくことができないからです
有限個の中だけであれば、存在しないことの証明は簡単です。
すべて調べていけばいいのですから。
そういえば刑事ドラマの「アリバイ」も存在しないことの証明ですね。
このことは、すぐにご理解頂けると思います。
一方で、以下のように、無限個あっても証明できる場合があります。
（２）「悪魔の証明」には証明できるものもある！
「悪魔の証明」には証明できるものもあります。
正確にいえば、そういうのはそもそも悪魔の証明ではないのですが…
ここで言いたいのは、
✔無限個あっても、存在するかどうかをすべて調べることができる！
その方法を本記事では２つご紹介します。
①背理法
②数学的帰納法
①背理法は「もし存在するとしたら矛盾が生じる」ことを証明します。
結果として、存在しないということが言えます。
たとえ無限個の中であっても、存在しないことが証明できます。
②数学的帰納法はこんな例でお伝えしたほうが早いです。
ドミノを並べます。必ず次のドミノを倒せるように並べていきます。
このドミノは、無限に並べることができます。
１枚目のドミノを倒します。
そうすると、２枚目、３枚目、・・・と順に倒れていきます。
このとき「倒れないドミノは存在しない」と言えます。
たとえ、ドミノを無限個並べたとしてもです。
こうして、無限個の中に、存在しないことが証明できます。
■いろいろ考えることでアイデアの発掘も！
いかがでしたでしょうか？
ちょっとだまされた感じでしょうか？（笑）
①背理法の例は別の記事に譲りたいと思います。
②数学的帰納法の例も、追記するか、別の記事にしたいと思います。
本記事は厳密さよりも、わかりやすさを優先しました。
興味がありましたら、厳密なものを調べてみるといいですね。
本記事のような内容を頭の中でいろいろ考えるのもいいものです。
当ブログのテーマである「アイデアの発掘」にも役立つでしょう！
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