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2021年09月23日

「悪魔の証明」で2つの誤解をしていませんか?(存在しないことは証明できない?)

「悪魔の証明」をご存知でしょうか?

ある元総理が、
「ある事実がないことを証明するのは『悪魔の証明』であり不可能」
という趣旨のことを述べたことで有名になりました。

ただ「悪魔の証明」が誤解されて使われているのを見かけます。

「存在しないことの証明は昔からできないと決まっている!」
などとしたり顔で言う人を見かけることがあります。

本記事ではこの誤解を解消したいと思います。
うっかり「悪魔の証明」を口にして恥ずかしい思いをしないように!
数学の知見も得られます!(難しい内容ではありません)

<目次>
「悪魔の証明」で2つの誤解をしていませんか?
(1)「悪魔の証明」は無限に調べないといけないときだけ!
(2)「悪魔の証明」には証明できるものもある!


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(1)「悪魔の証明」は無限に調べないといけないときだけ!

そもそも、悪魔の証明が「証明できない」とされるのは、
✔無限のものをすべて調べていくことができないからです

有限個の中だけであれば、存在しないことの証明は簡単です。
すべて調べていけばいいのですから。

そういえば刑事ドラマの「アリバイ」も存在しないことの証明ですね。

このことは、すぐにご理解頂けると思います。

一方で、以下のように、無限個あっても証明できる場合があります。

(2)「悪魔の証明」には証明できるものもある!

「悪魔の証明」には証明できるものもあります。
正確にいえば、そういうのはそもそも悪魔の証明ではないのですが…

ここで言いたいのは、
✔無限個あっても、存在するかどうかをすべて調べることができる!

その方法を本記事では2つご紹介します。
①背理法
②数学的帰納法

①背理法は「もし存在するとしたら矛盾が生じる」ことを証明します。
結果として、存在しないということが言えます。
たとえ無限個の中であっても、存在しないことが証明できます。

②数学的帰納法はこんな例でお伝えしたほうが早いです。

ドミノを並べます。必ず次のドミノを倒せるように並べていきます。
このドミノは、無限に並べることができます。

1枚目のドミノを倒します。
そうすると、2枚目、3枚目、・・・と順に倒れていきます。

このとき「倒れないドミノは存在しない」と言えます。
たとえ、ドミノを無限個並べたとしてもです。

こうして、無限個の中に、存在しないことが証明できます。

■いろいろ考えることでアイデアの発掘も!

いかがでしたでしょうか?
ちょっとだまされた感じでしょうか?(笑)

①背理法の例は別の記事に譲りたいと思います。
②数学的帰納法の例も、追記するか、別の記事にしたいと思います。

本記事は厳密さよりも、わかりやすさを優先しました。
興味がありましたら、厳密なものを調べてみるといいですね。

本記事のような内容を頭の中でいろいろ考えるのもいいものです。
当ブログのテーマである「アイデアの発掘」にも役立つでしょう!

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