2023年03月20日
四色問題にチャレンジしてみる！（１）
本記事をお読みの方は四色問題をご存じの方だと思います。
用語の説明などは省略することがありますがご了承ください。
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ド・モルガンは「地図に四つの領域があり、各領域が他の三つの領域と接しているときには、どれか一つの領域は他の三つによって完全に囲まれていなければならない」という事実に気づいている。
彼は、四色問題の核心はここにあると信じ込み、ついには、この考えにすっかり取りつかれてしまった。ただ、その正しさを証明することはできなかったので、これを公理（より単純な命題に従属させられないことが明らかな命題）として仮定することを提案した。
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『四色問題』（ロビン・ウィルソン・著、茂木健一郎・訳のP38）
まず上記の内容を理解してから先にお進みください。
以下、ド・モルガンが証明できなかったことにチャレンジです！
■上記の内容を図示すると、以下の図１のようになります。
②が他の３つ（①③④）によって完全に囲まれています。
【図１】
■領土の形で表すよりもグラフで表したほうがわかりやすいです。
図１をグラフで表すと以下の図２のようになります。
【図２】
■上記は一例で、四つの領域の配置は、他にもありそうですね。
そこで以下のように考えます。
①～③を左から並べます。④から見て左右を考えます。
真ん中の②を、①と③を結ぶ線より上か下かで、場合分けします。
【図３】②が、①と③を結ぶ線より上の場合
このケースはド・モルガンが気づいた事実とは無関係です。
図３の場合は、④は②と隣接できません。
ちなみにこの場合は、④を②にすることができます。
つまり、４つの領土を、３色で塗れます。
【図４】②が、①と③を結ぶ線より下の場合
図４の場合は、④は②と隣接します（①、③にも隣接）。
そこでこの場合は、①～④の四色必要です。
このケースがド・モルガンが気づいた事実に関係します。
ただ、図４の場合は、②が①、③、④の三角形に囲まれます。
④から見て左から①、②、③とし、②が手前にあるからです。
これでド・モルガンが気づいた事実の証明になっていないでしょうか？
ちなみにこの場合、図４のグラフの外側は三色（①③④）になります。
（★）本記事はYouTubeの台本も兼ねています。
いずれ本記事を使ってYouTubeの動画も撮ってみたいと思います。
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四色問題にチャレンジしてみる！（２）
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Try the four-color problem! (1)
All maps can be painted with 4 colors!
If you are reading this article, you are probably familiar with the four-color problem.
Please note that explanations of terms may be omitted.
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De Morgan said, "If there are four regions on a map, and each borders three other regions, then any one region must be completely enclosed by the other three." I am aware.
He believed that this was the crux of the four-color problem, and eventually became obsessed with the idea. However, since he could not prove its correctness, he proposed to postulate it as an axiom (a proposition that is clearly not subordinate to simpler propositions).
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"The Four Color Problem" (Robin Wilson, written by Kenichiro Motegi, P38)
Please understand the above before proceeding.
Here is a challenge that De Morgan could not prove!
■ The above contents are illustrated in Figure 1 below.
② is completely surrounded by the other three (①③④).
■It is easier to understand if it is represented in a graph rather than in the form of territories.
Fig. 1 can be expressed as a graph as shown in Fig. 2 below.
■The above is just an example, and there may be other arrangements for the four areas.
Therefore, consider the following.
Arrange ① to ③ from the left. Think left and right from ④.
Divide the middle ② by whether it is above or below the line connecting ① and ③.
[Figure 3] When ② is above the line connecting ① and ③
This case has nothing to do with the facts that De Morgan noticed.
In the case of Figure 3, ④ cannot be adjacent to ②.
By the way, in this case, ④ can be changed to ②.
In other words, you can paint 4 territories with 3 colors.
[Figure 4] When ② is below the line connecting ① and ③
In the case of Figure 4, ④ is adjacent to ② (also adjacent to ① and ③).
Therefore, in this case, four colors (1 to 4) are required.
This case concerns a fact that De Morgan noticed.
However, in the case of Fig. 4, ② is surrounded by triangles of ①, ③, and ④.
From the left when viewed from ④, it is 1, 2, and 3, and 2 is in front.
Doesn't this prove the fact that De Morgan noticed?
By the way, in this case, the outside of the graph in Fig. 4 is three colors (①③④).
(★) This article also serves as the script for YouTube.
I would like to shoot a YouTube video using this article someday.
